遇到对方不垫付的情况，可通过以下方式处理：

1、先与对方协商处理；

2、当事人可以请求公安机关交通管理部门调解；

3、也可以直接向人民法院提起民事诉讼。

一、交通事故起诉程序：

1、原告向人民法院递交起诉状、副本及相关的证据；

2、人民法院接受原告提交的文件、材料，进行审查，符合条件的予以立案；

3、法院将原告的起诉书副本送达被告；

4、被告作出书面答辩；

5、开庭审理；

6、法院做出判决。

二、交通事故打官司需要的材料如下：

1、民事起诉状；

2、当事人身份证复印件；

3、交通事故责任认定书；

4、鉴定报告；

5、治疗费用票据、病历以及诊断报告；

6、误工时间证明以及收入证明；

7、交通费、住宿费票据；

8、受害人及近亲属的户籍证明。

总而言之，遇到对方全责不垫付的情况下，抢救受伤人员需要道路交通事故救助基金垫付费用的，由公安机关交通管理部门通知道路交通事故社会救助基金管理机构。如果对方不愿赔偿，首先先与对方积极地协商。如果对方无协商余地，建议通过诉讼维权。因为是交通事故，交警会制作交通事故认定书，帮助调解达成协议，调解未达成协议的，公安机关交通管理部门应当制作调解终结书送交各方当事人。 受害方可以去法院起诉肇事者。