非法持有鸦片一千克以上、海洛因或者甲基苯丙胺五十克以上或者其他毒品数量大的，处七年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金。

非法持有鸦片二百克以上不满一千克、海洛因或者甲基苯丙胺十克以上不满五十克或者其他毒品数量较大的；

处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。

因此，根据法律规定来看，问题中所说的持有毒品1克的话是不会构成我国刑法所规定的非法持有毒品罪的。持有毒品1克，不构成犯罪行为，应当按照治安管理处罚法规定进行处罚。

一、非法持有毒品罪的刑事责任是什么

须结合所持毒品性质和数量进行分析。非法持有鸦片一千克以上、海洛因或者甲基苯丙胺五十克以上或者其他毒品数量大的，处七年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金；持有鸦片二百克以上不满一千克、海洛因或者甲基苯丙胺十克以上不满五十克或者其他毒品数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金

二、非法持有毒品犯罪

非法持有毒品罪，是指非法持有毒品的行为。非法持有鸦片一千克以上、海洛因或者甲基苯丙胺五十克以上或者其他毒品数量大的，处七年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金。非法持有鸦片二百克以上不满一千克、海洛因或者甲基苯丙胺十克以上不满五十克或者其他毒品数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。