舅舅可以放弃孩子的抚养权。法律规定父母是孩子的法定抚养权人，孩子的舅舅没有义务对孩子有抚养的责任，是可以放弃孩子抚养权的。法定扶养人如果患有了严重疾病或无法再继续抚养孩子的情况是可以请求变更抚养权的，法院也会给予支持。双方可以先协商决定，协商不了的可以上诉法院。法院会根据具体情况规定抚养权的归属。

离婚放弃孩子抚养权可以吗

可以，但是需要给付女方孩子的抚养费。

离婚时子女抚养权怎么判：

（一）孩子不足两周岁

两周岁以下的孩子，一般随母方生活，母方有下列情形之一的，可随父方生活：

1、患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，孩子不宜与其共同生活的；

2、有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求孩子随其生活的；

3、因其他原因，孩子确无法随母方生活的。

（二）孩子在两周岁以上

对两周岁以上未成年的孩子，父方和母方均要求随其生活，一方有下列情形之一的，可予优先考虑：

1、已做绝育手术或因其他原因丧失生育能力的；

2、孩子随其生活时间较长，改变生活环境对孩子健康成长明显不利的；

3、无其他孩子，而另一方有其他孩子的；

4、孩子随其生活，对孩子成长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于孩子身心健康的情形，不宜与孩子共同生活的。

5、孩子单独随祖父母或外祖父母共同生活多年，且祖父母或外祖父母要求并且有能力帮助孩子照顾孙孩子或外孙孩子的，可作为孩子随父或母生活的优先条件予以考虑。

（三）孩子在十周岁以上

1、父母双方对十周岁以上的未成年孩子随父或随母生活发生争执的，应考虑该孩子的意见。

2、在十周岁以上的未成年孩子，属于限制民事行为能力人，有一定的辨别是非的能力。所以在离婚案件中，处理孩子随谁生活的问题上，应考虑到孩子的个人的意愿。

3、考虑孩子的意见并不是十周岁以上未成年孩子可以随意选择随谁生活，法院一般在父方母方同争抚养权，且双方都具有抚养孩子的条件时，才考虑孩子个人的意见。

4、男方要求取得孩子的抚养权可从其收入较高，有抚养能力和孩子单独随祖父母共同生活多年，且祖父母要求并且有能力帮助孩子照顾孙孩子的理由来争取。

法律上有明确规定，任何人不可以以任何借口，拒绝支付抚养费。抚养是父母对子女的一项义务，抛弃子女是犯法的。如果离婚想要抚养权，那么是可以的，但是需要支付抚养费，抚养费可以按照月支付，有条件的也可以一次性进行支付。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条【离婚后的父母子女关系】父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。