执行董事劳动合同不是必须要签订的。如果董事长是公司的股东，作为公司管理者和所有者的董事长与公司建立的不是劳动关系，个人认为不需要签订劳动合同。

如果股东并不在公司担任任何职务，和公司没有劳动法上的关系，当然不需要签订劳动合同。如果股东担任公司职务，公司应该签订劳动合同，如果未签合同可以要求支付双倍工资差额。

如果董事长不是公司股东，非公司股东的董事长是公司管理者，如果也并非公司法定代表人，个人认为需要签订劳动合同，董事会的决议或聘书可以代替劳动合同的内容，不一定要另外签订劳动合同。

根据《公司法》规定，公司法定代表人依照公司章程的规定，由董事长、执行董事或者经理担任，并依法登记。由上可知，法定代表人也不一定是公司股东。如果法定代表人是公司股东，既是公司所有者，又代表公司，个人认为不需要签订劳动合同。

一、签订的劳动合同丢了怎么申请仲裁？

劳动合同丢失可以申请仲裁，但需要其他材料如解除或终止合同通知书等。

申请劳动仲裁应当提交材料：能够证明与被申请人之间存在劳动关系的有关材料，如劳动合同(聘用合同或协议)、解除或终止合同通知书、工资单(条)、社会保险缴费证明等材料及复印件。

申请人在申请劳动仲裁时，仲裁委根据立案审查的需要，要求申请人提交能够证明被诉人身份的有关材料的，申请人应当提交。如被申请人是用人单位的，应当提交其工商注册登记相关情况的证明。