被外单位借用的员工和原单位签订劳动合同，也就是与劳务派遣单位签订劳动合同，由劳务派遣单位与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，并按月支付给其劳动报酬。被外单位借用的员工和谁签订劳动合同的法律依据

《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条

劳务派遣单位是本法所称用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。劳务派遣单位与被派遣劳动者订立的劳动合同，除应当载明本法第十七条规定的事项外，还应当载明被派遣劳动者的用工单位以及派遣期限、工作岗位等情况。劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，按月支付劳动报酬；被派遣劳动者在无工作期间，劳务派遣单位应当按照所在地人民政府规定的最低工资标准，向其按月支付报酬。

《中华人民共和国劳动合同法》第五十九条

劳务派遣单位派遣劳动者应当与接受以劳务派遣形式用工的单位（以下称用工单位）订立劳务派遣协议。

《中华人民共和国劳动合同法》（2012修正）：第二章　劳动合同的订立　　第十七条　【劳动合同的内容】劳动合同应当具备以下条款：\n（一）用人单位的名称、住所和法定代表人或者主要负责人；\n（二）劳动者的姓名、住址和居民身份证或者其他有效身份证件号码；\n（三）劳动合同期限；\n（四）工作内容和工作地点；\n（五）工作时间和休息休假；\n（六）劳动报酬；\n（七）社会保险；\n（八）劳动保护、劳动条件和职业危害防护；\n（九）法律、法规规定应当纳入劳动合同的其他事项。\n劳动合同除前款规定的必备条款外，用人单位与劳动者可以约定试用期、培训、保守秘密、补充保险和福利待遇等其他事项。