一、涉外仲裁的执行由哪个机构执行？

1.涉外仲裁裁决在中国的执行

按照我国民事诉讼法和仲裁法的有关规定，对中国的涉外仲裁机构作出的仲裁裁决，一方当事人不履行的，对方当事人可以向被申请人住所地或者财产所在地的中级人民法院申请执行。申请人向人民法院申请执行中国涉外仲裁机构的仲裁裁决，须提出书面申请，并附裁决书正本。如果申请人为外国一方当事人，其申请书须用中文本提出。

一方当事人申请执行仲裁裁决，另一方当事人申请撤销仲裁裁决，人民法院应当裁定中止执行。按照{民诉意见》第315条，在这种情况下，被执行人应该提供财产担保。人民法院裁定撤销裁决的，应当裁定终结执行。撤销仲裁裁决的申请被裁定驳回的，人民法院应当裁定恢复执行。仲裁裁决被人民法院裁定不予执行的，当事人可以根据双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，也可以向人民法院起诉。

2.中国涉外仲裁机构的仲裁裁决在外国的承认和执行

依照我国民事诉讼法第266条第2款和仲裁法第72条的规定，中国涉外仲裁机构作出的发生法律效力的仲裁裁决，当事人请求执行的，如果被执行人或者财产不在中国领域内，应当由当事人直接向有管辖权的外国法院申请承认和执行。由于中国已经加入《纽约公约》，当事人可以依照公约的规定或者依照中国缔结或参加的其他国际条约，直接向该外国法院申请承认和执行中国涉外仲裁机构作出的裁决。

综上所述可知，涉外仲裁的裁决由有管辖权的人民法院执行。

二、中国涉外仲裁机构仲裁裁决不予执行的情形

1、当事人在合同中没有订有仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议的；

2、被申请人没有得到指定仲裁员或者进行仲裁程序的通知，或者由于其他不属于被申请人负责的原因未能陈述意见的；

3、仲裁庭的组成或者仲裁的程序与仲裁规则不符的；

4、裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁的；

5、人民法院认定执行该裁决违背社会公共利益的，裁定不予执行；

6、当事人向中国有管辖权的中级人民法院申请承认和执行外国法院作出的发生法律效力的判决、裁定的，如果该法院所在国与中国没有缔结或者共同参加国际条约，也没有互惠关系的，裁定驳回申请，但当事人向人民法院申请承认外国法院作出的发生法律效力的离婚判决的除外。