抚养权无论在谁那里孩子双方都有抚养义务。法律规定父母双方都有抚养孩子的义务，不因离婚而消除。拥有抚养权的一方需要直接抚养孩子，和孩子长期生活在一起，而没有抚养权的一方也要间接抚养，对孩子也有探视的权利，并且负担相应的抚养费，以协助抚养。如果一方有严重疾病或吸毒、赌博、虐待儿童等不利于孩子身心健康成长的情况，另一方可以申请变更抚养权。

孩子抚养权给谁就跟谁姓吗

一般情况下，孩子的抚养权给谁不一定就会跟谁姓。因为孩子跟随父姓和母姓的选取原则通常是平等的，并没有主从和优劣的之分。16周岁以下的公民要父母或监护人才可以改姓名，已满16周岁的，可以由本人改姓名。父母离异后一方要改未成年子女姓名的，必须协商一致签协议后，才能改姓名。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条【离婚后的父母子女关系】

父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。