母亲争取孩子抚养权的方式：

1、子女未满两周岁，可通过提供子女出生证、户口本，主张优先扶养；

2、子女已满两周岁，可通过举证双方工资、工作、学历、家庭环境、与子女关系等事实，争取抚养权；

3、其他方式。

父亲遗弃子女母亲抚养权是否可以争取

如果父亲遗弃子女的话，那么这种情况母亲是完全可以要求法院对子女的抚养权进行变更的。

如果遗弃孩子，不对孩子进行抚养，这种情况是需要承担法律责任的。

另外除了上述情况，如果一方出现以下情况，另一方也可以要求变更抚养权：

1、与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的。

2、与子女一同生活的一方不尽抚养义务或有虐待行为的或其与子女共同生活对子女身心健康有不利影响的。

3、十周岁以上未成年子女，愿随另一方生活的。

4．有其它正当理由需要变更的。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条

父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。