批捕之后，其家人提出取保候审请求的适宜时机往往需因应具体案件情况与刑事司法部门的工作进展状况来确定，并无固定的期限约束。

然而，在常规情况下，倘若相关申请所提交的资料齐备且满足相关条件要求，那么有可能会在一周至一个月的时间段内得到答复。重要的是要声明，此处所提供的时间范围并非法定规定的时限，实际审批周期仍需向审理该案件的机构进行确认咨询。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条：人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：

（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；

（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；

（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；

（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。

取保候审由公安机关执行。