一、父亲遗弃子女母亲抚养权是否可以争取

1、与子女一同生活的一方不尽抚养义务或有虐待行为的或其与子女共同生活对子女身心健康有不利影响的，当事人可以申请变更子女抚养权。因此，当父亲出现遗弃子女情形的，其母亲可以向法院申请变更子女抚养权。

2、法律依据：

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条第三款规定

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。

二、抚养权法院怎么强制执行

人民法院审理离婚案件，对子女抚养问题，从有利于子女身心健康，保障子女的合法权益出发：

1.两周岁以下的子女，一般随母方生活。母方有下列情形之一的，可随父方生活：

(1)患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活的；

(2)有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求子女随其生活的。

2.父母双方协议两周岁以下子女随父方生活，并对子女健康成长无不利影响的，可予准许。

3.对两周岁以上未成年的子女，父方和母方均要求随其生活，一方有下列情形之一的，可予优先考虑：

(1)已做绝育手术或因其他原因丧失生育能力的；

(2)子女随其生活时间较长，改变生活环境对子女健康成长明显不利的；

(3)无其他子女，而另一方有其他子女的；

(4)子女随其生活，对子女成长有利，而另一方有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的。

4.父方和母方抚养子女的条件基本相同，双方均要求子女与其共同生活，但子女单独随祖父母或外祖父母共同生活多年，且祖父母或外祖父母要求并且有能力帮助子女照顾孙子女或外孙子女的，可作为子女随父或母生活的优先条件予以考虑。

5.十周岁以上的未成年人应考虑该子女的意见。