父亲登报断绝关系儿子能继承遗产。但是如果没有履行赡养义务，就应该不分或者少分。

首先，父母和孩子的身份关系是基于血缘关系形成的，这种关系是出生就决定的。

根据法律原则，血缘关系不能解除，这是由生理基础和自然规律决定的。因此，血缘关系不能因为声明而解除，这种声明没有法律效力。

其次，根据法律规定，继承开始时，有遗嘱的按遗嘱继承，无遗嘱的按法定继承。子女依法享有平等的继承权。如一方未履行赡养义务，在分配遗产时，应不分或少分。

父亲死亡后继承遗产顺序

父亲死亡后，继承遗产一般会按照以下的顺序来处理：1、第一顺序继承人：配偶、子女、父母；2、第二顺序继承人：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。开始继承后，先会让第一顺序的继承人继承，第二顺序继承人先不继承。在没有第一顺序继承人继承的情况之下，再让第二顺序继承人来继承。

《中华人民共和国民法典》第一千一百三十条同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。

对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时，应当予以照顾。

对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。

有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。

继承人协商同意的，也可以不均等。