在执行取保候审的过程中，公安机关负责实施的派出所应承担以下责任和义务：

首先，需要对犯罪嫌疑人、被告人遵守相关法律法规的情况进行严格的监督和考察；

其次，必须对保证人所承担的保证义务进行严密的监管；

再次，如果发现犯罪嫌疑人、被告人违反了相关规定或者保证人未能履行其保证义务时，应立即向作出决定的机关进行汇报；

最后，在取保候审期限即将届满前的十天内，需通知原作出决定的机关。

此外，执行取保候审的派出所还应要求被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人定期向其报告相关情况，并对此进行详细记录。

《刑事诉讼法》第七十一条

被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人应当遵守以下规定：

（一）未经执行机关批准不得离开所居住的市、县；

（二）住址、工作单位和联系方式发生变动的，在二十四小时以内向执行机关报告；

（三）在传讯的时候及时到案；

（四）不得以任何形式干扰证人作证；

（五）不得毁灭、伪造证据或者串供。

人民法院、人民检察院和公安机关可以根据案件情况，责令被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人遵守以下一项或者多项规定：

（一）不得进入特定的场所；

（二）不得与特定的人员会见或者通信；

（三）不得从事特定的活动；

（四）将护照等出入境证件、驾驶证件交执行机关保存。

被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人违反前两款规定，已交纳保证金的，没收部分或者全部保证金，并且区别情形，责令犯罪嫌疑人、被告人具结悔过，重新交纳保证金、提出保证人，或者监视居住、予以逮捕。

对违反取保候审规定，需要予以逮捕的，可以对犯罪嫌疑人、被告人先行拘留。