1、根据《劳动合同法》第82条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。所以，你有权主张自用工之日起超过一个月不满一年的双倍工资；最长不超过11个月；2、根据《劳动法》第72条以及《中华人民共和国社会保险法》第86条规定，社会保险是国家的强制保险，为职工办理社会保险是单位的法定义务，公司不给你交社保的行为显然也是违法的，你可以要求单位给你补缴；3、针对公司辞退你，根据《劳动合同法》第39条规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；4、所以，只有你出现严重违反单位规则制度等情形时，用人单位才能辞退你的，而且需要单位举证；5、如不符合上述条件单位辞退你，你可以依据《劳动合同法》第48条规定，要求单位支付赔偿金；6、赔偿金的数额为解除劳动关系前12个月的平均工资乘以2N（N的确定标准为每工作满一年支付一个月经济补偿金，不满6个月算半个月经济补偿金）；7、综上，你可以要求公司出具解除劳动合同通知书，若公司不出具，你可以去当地劳动监察部门投诉处理；公司辞退的理由不成立，你可以主张赔偿金。
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用人单位未交社保，劳动者单方面解除劳动合同，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
不可以，虽然单位没有同你签订劳动合同，属于违法，但你仍然应当提前30天通知用人单位才能离职；同时你可以向公司要求支付未签订劳动合同的双倍工资。
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