刑事诉讼司法鉴定决定权，在不同阶段分别由侦查机关、检察机关、审判机关行使。

在侦查阶段，为了查明案情，需要解决案件中某些专门性问题的时候，应当由侦查机关指派、聘请有专门知识的人进行鉴定。在审查阶段，人民检察院为了查明案情，解决案件中某些专门性的问题，应当进行鉴定。鉴定由检察长批准，由人民检察院技术部门有鉴定资格的人员进行。必要的时候，也可以聘请其他有鉴定资格的人员进行，但是应当征得鉴定人所在单位的同意。

人民检察院对鉴定结论有疑问的，可以指派或者聘请有专门知识的人或者鉴定机构，对案件中的某些专门性问题进行补充鉴定或者重新鉴定。部门对审查起诉案件中涉及专门技术问题的证据材料需要进行审查的，可以送交检察技术人员或者其他具有专门知识的人员审查。

检察技术人员或者其他具有专门知识的人员审查后应当出具审查意见。刑事案件在审判阶段有专门性问题需要鉴定的，由人民法院决定与委托。人民法院调查核实证据，可以进行勘验、检查、扣押、鉴定和查询、冻结。

一、刑事司法鉴定委托的过程与方式是什么？

检察机关、机关、人民法院对申请方的鉴定申请决定鉴定后，应当根据诉讼类型和案件情况采取不同方式选聘鉴定机构和鉴定人。刑事诉讼在侦查初期的鉴定一般由侦查机关直接指派或聘请鉴定机构或鉴定人进行鉴定。在侦查后期及诉讼中的鉴定则必须考虑申请方的意见。民事诉讼中进行鉴定委托要由人民法院与双方当事人共同决定。《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》规定，当事人申请鉴定经人民法院同意后，由双方当事人协商确定有鉴定资格的鉴定机构、鉴定人员，协商不成的，由人民法院指定。