在婚姻发生争议并诉诸法律之时，当事人可按照以下既定流程申请进行亲子鉴定事宜：

首先，应由要求进行鉴定的申请人提交关于需要展开鉴定事项的相关证据资料，并向受理案件的司法机构呈交书面申请书；

其次，若法庭认定存在必要开展亲子鉴定工作，则应依法通知另一方当事人，如另一方无法出示反证或者明确表示不愿意接受亲子鉴定的，此时法庭不能强行规定其进行鉴定，然而可以依据已经掌握的事实情况做出对申请人有利的裁决。

《中华人民共和国民法典》第一千零七十三条对亲子关系有异议且有正当理由的，父或者母可以向人民法院提起诉讼，请求确认或者否认亲子关系。对亲子关系有异议且有正当理由的，成年子女可以向人民法院提起诉讼，请求确认亲子关系。

《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第三十九条父或者母向人民法院起诉请求否认亲子关系，并已提供必要证据予以证明，另一方没有相反证据又拒绝做亲子鉴定的，人民法院可以认定否认亲子关系一方的主张成立。父或者母以及成年子女起诉请求确认亲子关系，并提供必要证据予以证明，另一方没有相反证据又拒绝做亲子鉴定的，人民法院可以认定确认亲子关系一方的主张成立。