当合法配偶一方不幸离世且留下了可供继承的遗产时，若存在书面遗嘱，那么应遵照遗嘱中遗愿的规定进行继承或受馈赠；倘若生前曾签订了遗赠抚养协议，同样要根据协议中的条款予以妥善处理。

在既无遗嘱、也没有遗赠抚养协议的情况下，必须按照相关法律法规所设定的法定继承方式进行处理。

当继承流程正式启动之后，首先应该由第一顺位的继承人依法继承全部财产，而处于第二顺位的继承人则不得参与；若在该情况下依旧未能出现任何第一顺位的继承人，那么接下来才轮到第二顺位的继承人着手处理。

《中华人民共和国民法典》第一千一百二十二条

遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产。依照法律规定或者根据其性质不得继承的遗产，不得继承。