非婚母亲抛弃孩子五年不一定有抚养权。关于孩子的抚养权主要是看哪一方更有利于孩子的身心健康成长，如果非婚母亲一方愿意抚养孩子，并且有能力抚养，那么是能争取孩子抚养权的。抚养权的归属要根据双方的抚养能力和抚养条件以更有利于孩子为原则进行判定。如果非婚母亲一方没有抚养权，那么也要负担孩子的抚养权，尽到抚养义务。

什么情况母亲才能争取孩子抚养权

根据我国民法典等相关法律的规定，下列情况下，离婚时子女一般由母亲抚养：

（1）两周岁以下的子女，一般随母方生活；

（2）已作绝育手术或因其他原因丧失生育能力的；

（3）子女随其生活时间较长，改变生活环境对子女健康成长明显不利的；

（4）无其他子女，而另一方有其他子女的；

（5）子女随其生活，对子女成长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的；

《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条【非婚生子女的权利】

非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。

不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。