父亲可以与继子签订遗赠协议。继子需要负责父亲的生活费用或遗赠协议中附带的其他条件。遗赠协议是双重事务，是公民生前处理财产的行为。通常用于人与社会组织之间的互助关系，没有生活来源。根据规定，继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。

继子对继父有父亲的监护权吗？

可以有。根据法律规定，父母是未成年子女的监护人。继父或者继母和受其抚养教育的继子女间的权利义务关系，适用关于父母子女关系的规定。所以，再婚后继父或继母只要对未成年子女进行抚养，继父或者继母就可以成为监护人。

《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。