关于诉讼过程中起诉保险公司的律师费应当由何方支付的问题，通常来说这笔费用会首先由原告即聘请律师的一方先行垫付。但如果最后获得胜诉或是法院判决被告承担部分乃至全额律师费时，那么这笔费用便会落到被告头上进行支付。律师费，实际上就是指律师为了提供其专业的法律服务而向委托人收取的合理费用。在我国，在处理此类案件时，我们遵循的基本原则是“谁聘请了律师，谁就需要承担相应的律师费用”。

然而，在某些特定的情形下，例如当法律法规或者相关的法律解释有明确规定，或者双方当事人之间已经达成了明确的协议，那么律师费也可能会由败诉的一方来承担。

《中华人民共和国律师法》第五十九条律师收费办法，由国务院价格主管部门会同国务院司法行政部门制定。

《律师服务收费管理办法》第十条律师服务收费可以根据不同的服务内容，采取计件收费、按标的额比例收费和计时收费等方式。计件收费一般适用于不涉及财产关系的法律事务；按标的额比例收费适用于涉及财产关系的法律事务；计时收费可适用于全部法律事务。