B省的受害人可以到A省公安机关举报，要求A省公安机关将刘某在B省的犯罪并在A省一起查处起诉。

相关法律知识：

公安机关直接受理的刑事案件

刑事诉讼法第18条第1款规定：刑事案件的侦查由公安机关进行，法律另有规定的除外。这里主要是指除由人民法院直接受理和人民检察院自行侦查的刑事案件以外的其他绝大多数刑事案件。

法律的除外规定是指：

1.刑事诉讼法第4条规定：国家安全机关依照法律规定，办理危害国家安全的刑事案件，行使与公安机关相同的职权。

2.刑事诉讼法第18条第2款规定的人民检察院直接受理立案侦查的刑事案件。

3.刑事诉讼法第225条规定：军队保卫部门对军队内部发生的刑事案件行使侦查权。对罪犯在监狱内犯罪的案件由监狱进行侦查。军队保卫部门、监狱办理刑事案件，适用本法的有关规定。

由此可见，除“法律另有规定”的这些案件由其他特定的机关行使侦查权外，绝大多数的刑事案件由公安机关负责立案侦查。公安机关是国家的治安保卫机关，肩负维护社会秩序，保障公民安全的职责，并具有同犯罪做斗争的丰富经验和必要的专门侦查手段。因此，法律把绝大多数需要侦查的刑事案件交由公安机关立案侦查，是与公安机关的性质、职能和办案条件相适应的;同时，也是完全符合同犯罪做斗争的需要的。

另外;盗窃、抢劫机动车案件，由案件发生地公安机关立案侦查，赃车流入地公安机关应当予以配合。跨地区系列盗窃、抢劫机动车案件，由最初受理的公安机关立案侦查;必要时，可由主要犯罪地公安机关立案侦查，或者由上级公安机关指定立案侦查。

旅客列车上发生的刑事案件，由负责该车乘务的乘警队所属铁路公安机关立案侦查。