小三可以争取自己生下的孩子的抚养权，但是没有权利介入他人子女的抚养权的争取纠纷当中。换句话说，只有亲生父母才享有对子女教育、抚养以及保护的权利。这主要根据了我国民法典第1084条的规定。无论父母是否已经登记结婚，只要是孩子的亲生父母，当然享有相应的亲子权利。因此，小三可以争取自己孩子的抚养权，但是不能请求取得他人孩子的抚养权利。需要注意的是，根据我国民法典第1071条的规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利。这就说明了，如果小三自己直接抚养孩子的话，不直接抚养孩子的有配偶的人，仍然需要支付相应的抚养费用。

再婚后还可以重新争取孩子的抚养权吗？

可以变更，法律依据如下：

《关于审理离婚案件处理子女抚养问题的若干意见》第16条规定，一方要求变更子女抚养权，有下列条件之一的，人民法院应予支持：

1、与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的。

2、与子女一同生活的一方不尽抚养义务或有虐待行为的或其与子女共同生活对子女身心健康有不利影响的。

3、十周岁以上未成年子女，愿随另一方生活。

4、有其它正当理由需要变更的。

根据以上规定，只要具有上述任意一个条件，即可向人民法院申请变更抚养权。

《中华人民共和国民法典》

第一千零七十一条非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。

不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。

第一千零八十四条父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。