关于私生子女的户籍问题，根据中华人民共和国相关法律法规及政策规定，若该婴儿跟随其母亲进行户口申报，则在婴儿出生后的一个月内，无论是婴儿的母亲本人还是其他人都可以向其母亲的原籍常住户口所在的公安机关提出户口注册申请。

而当该婴儿跟随其亲生父亲进行户口申报时，其父亲须提交本人与孩子之间的亲子鉴定证书，且需提供户口簿上其他户主的书面同意书，随后再前往父亲本人常住户口所在的公安机关履行相应的户口登记手续。

值得注意的是，如果婴儿的双亲中任何一方为外省市户口，那么在外省市户口一方所登记户口所在地的公安机关应开具一份婴幼儿尚未注册过本市户口的证明文件。

《中华人民共和国户口登记条例》第五条

户口登记以户为单位，同主管人共同居住一处的立为一户，以主管人为户主，单身居住的自立一户，以本人为户主，居住在机关、团体、学校、企业、事业等单位内部和公共宿舍的户口共立一户或者分别立户，户主负责按照本条例的规定申报户口登记。