经营剧毒化学品应该向设区的市级人民政府安全生产监督管理部门申请，因为此部门负责企业的经营许可证审批、颁发。省、自治区、直辖市人民政府安全生产监督管理部门指导、监督本行政区域内经营许可证的颁发和管理工作。

《危险化学品经营许可证管理办法》第三条

国家对危险化学品经营实行许可制度。经营危险化学品的企业，应当依照本办法取得危险化学品经营许可证（以下简称经营许可证）。未取得经营许可证，任何单位和个人不得经营危险化学品。