母亲再婚后由子女抚养。父母和孩子的关系是基于血缘关系产生的，不会因为父母离婚或再婚而改变。生孩子对再婚的父母还有赡养义务。

成果成年子女不履行赡养义务，缺乏劳动能力或生活困难的父母有权要求成年子女支付赡养费。

母亲再婚后可以要求孩子随继父姓吗

《民法典》（自2021年1月1日起实施）第1015条规定，父姓，可以随母姓。

最高人民法院《关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》第19条规定：父或母一方擅自将子女姓氏改为继母或继父姓氏而引起纠纷的，应责令恢复原姓氏。

未成年人变更姓名，必须征得监护人同意。父母作为未成年人的子女的监护人，在子女姓名上享有平等的权利，任何一方变更子女姓名时，都要征得对方同意，因此，夫妻离婚后，父或母不得擅自将夫妻存续期间所生子女姓氏更改为继母或继父的姓氏。

夫妻离婚后，一方擅自将子女姓氏改变，侵犯了对方享有的子女随其姓的权利。实践中，子女为限制行为能力的及已满10周岁的，因其具备一定的民事行为能力，应考虑子女的意见确定姓氏。对不满10周岁的子女，因其还不具备民事行为能力，因此不用征求本人意见，可由父母双方进行协商解决，对于擅自更改的应恢复原姓氏。

《民法典》第一千零六十七条，父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。

成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。