虚假诉讼如果构成犯罪的，应该由公安机关负责立案侦查。根据刑法的规定，以捏造的事实提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的，构成虚假诉讼罪，应追究刑事责任。

一、虚假诉讼罪既遂判刑最新规定

虚假诉讼罪既遂的判刑最新规定是：故意捏造事实然后提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的；应该判处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；如果情节严重的，判三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。

二、非法诉讼罪的构成要件

非法诉讼即刑法中规定的“虚假诉讼”，虚假诉讼罪是以捏造的事实提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益，故虚假诉讼的立案标准有两个：妨害司法秩序和严重侵害他人合法权益。根据《中华人民共和国刑法》第三百零七条以捏造的事实提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。