起诉抚养权会在开庭三日前下传票，而法律对开庭时间没有明确的规定。具体的开庭时间可以向承办该抚养权纠纷案件的法官询问，然后耐心等待传票的送达。

法律依据：

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百三十六条

人民法院审理民事案件，应当在开庭三日前通知当事人和其他诉讼参与人。公开审理的，应当公告当事人姓名、案由和开庭的时间、地点。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百四十九条

人民法院适用普通程序审理的案件，应当在立案之日起六个月内审结。有特殊情况需要延长的，由本院院长批准，可以延长六个月；还需要延长的，报请上级人民法院批准。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百六十一条

人民法院适用简易程序审理案件，应当在立案之日起三个月内审结。我国法律并没有对法院立案后的开庭时间做具体的规定，关于多久开庭的问题，可以参考法院的一般流程。起诉立案后，一般需要1－7日将案件从立案庭转到业务庭，但是这个时间不是绝对的。业务庭法官在收到起诉材料后，会根据自己的工作时间来进行开庭排期。但法律规定的诉讼审理期限一般为六个月，简易程序的审理期限为三个月。总的来说，法院立案后，需要分案、排期，再有举证期限，开庭。正常情况下，一般立案后一个半月左右开庭，但如果法院审理的案件比较多，那么开庭排期是存在延后的可能性的。起诉离婚法院立案后一般7日内向被告送达传票，现实生活中法院立案后多久能收到传票一般由法院掌握，一般情况下在10天到一个月内。

法院立案后应该先传唤被告，通知被告后才会通知原告，也就是说法院先是电话通知被告，如果通知不到采用直接送达、留置送达、委托送达、邮寄送达诉讼文书所不能送达的情况下；

最后采用公告送达，公告送达是指采用登报的方式送达传票自发出公告之日起，经过六十日，即视为送达。