一、保险公司起诉我鉴定费谁出

该项费用应由保险机构承担。鉴定费用作为查明相关案情事实的重要手段，被视为确保保险事故性质、原因以及保险标的实际损失程度得到准确认定与厘定的必要且合理的支出。因此，保险机构及被保险人均需为此类鉴定费用付出相应成本。

此外，法律明确规定，保险机构不得通过协议等方式免除自身在法律法规框架下应负有的责任或进一步加大投保人和被保险人的义务负担。

根据本情形的具体情况来看，保险合同中约定不予理赔鉴定费用的条款实际上具有此种免责性质，即导致保险机构依法应尽义务的豁免，进而加重投保人的责任。因此，从法学角度看，此类不赔付鉴定费用的条款属无效之列，保险机构有义务向宗某赔偿其已经先行垫付的鉴定费用。

《中华人民共和国保险法》第六十四条保险人、被保险人为查明和确定保险事故的性质、原因和保险标的的损失程度所支付的必要的、合理的费用，由保险人承担。

二、保险公司代为追偿能追回来吗

保险公司实施代为求偿策略能否顺利达成并非必然之事。代为求偿乃是指当第三方应当承担补偿义务时，保险公司先期提供相应的补偿金额，同时依法享有受害者提出赔偿请求之权利，继而向责任方进行追偿的过程。保险公司行使代位求偿之权益源于法律法规之明确规定，若追偿所得款项超出补偿额度，则超出部分将归属被保险人所有。然则，法律规范仅仅规定承担支付保险理赔金的主体具有代位求偿的权利，却并未强制规定责任方必须支付相关赔偿款项。因此，尽管保险公司所付之赔偿款可能无法全额收回，但这并不标志着代位求偿必定无法成功实现。

《民法典》第五百二十四条

债务人不履行债务，第三人对履行该债务具有合法利益的，第三人有权向债权人代为履行；但是，根据债务性质、按照当事人约定或者依照法律规定只能由债务人履行的除外。

债权人接受第三人履行后，其对债务人的债权转让给第三人，但是债务人和第三人另有约定的除外。

为保证意外事故性质、起因及其损害程度得以精确识别与评估，鉴定所需之费用理应由保险机构承担。根据相关法律规定，保险机构不得以任何形式规避或加重保户负担，诸如以协议约定等方式进行此类行为皆属违法。在此案中，保险合同中所包含的关于拒绝支付鉴定费用的条款因违反了法律规定而被判定无效。因此，保险机构应当对宗某已经先行垫付的鉴定费用予以全额赔偿。