若母亲丢下孩子让孩子无人照管导致伤害，可构成遗弃罪。如果是女方生下孩子丢给男方，有男方在照顾，未构成遗弃罪，男方可向女方索要孩子必须的生活费用(夫妻一人一半)，这是法律支持的。

一、什么情况下，孩子抚养权判归女方的可能性较高

以下情况下孩子抚养权判归女方的可能性较大：

第一、两周岁以内的子女以由母亲直接抚养为原则。

第二、孩子虽然两周岁以上了，女方已做绝育手术，男方未做，且男方年龄与女方年龄差距不是很大，孩子判归女方的可能性较大。

第三、孩子一直随母亲生活，如果离婚后改为随父亲生活对其生活习惯改变较大且影响其成长的，孩子判归女方可能性较大。

第四、男女双方的抚养条件，如工作稳定程度、收入情况差距不大的前提下，如果男方对于夫妻感情破裂有过错，比如，有证据证明有婚外情等，孩子判归女方的可能性较大。

第五，男方有不良嗜好，如赌博、汹酒等恶习等。考虑到其恶习对孩子成长有不利影响，法院一般会将孩子判归女方。

第六、如果男女双方均无明显过错，各方面条件都相当，如果女方的思想品质好一些，更有时间照顾孩子，得到孩子抚养权的可能性就会更大。

第七、八周岁以上的孩子愿意随母亲生活的。

二、离婚抚养权是否优先女方

离婚抚养权是否优先女方是根据情况而定。而不是一刀切地确定妇女的抚养优先考虑，前提是妇女是否具有实际的抚养能力。争取监护权应具备以下优势：

1、工作稳定性和收入；

2、男方对夫妻关系破裂有过错，如婚外情，孩子更有可能被判给女方；

3、男方有赌博、酗酒等不良习惯。影响孩子的成长；

4、孩子在两岁以内，一般会判断和女方住在一起。这主要考虑到孩子还处于幼儿期，需要母亲的母乳喂养，母亲可以给孩子更多的体贴和照顾；

5、判决时，孩子和女方住在一起。