依照《中华人民共和国民法典》的规定，第一千一百二十二条【遗产的定义】遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产。城镇廉租房的住房性质属于公房，故租房人不对其拥有房屋产权，所以廉租房不属于可继承的遗产。且从《城镇最低收入家庭廉租住房管理办法》的相关规定来看，享受廉租住房待遇的最低收入家庭，每年都须向房地产行政主管部门或其委托的机构如实申报家庭收入、家庭人口及住房变动情况，所以租住廉租房是需要具备一定条件的，当条件不符合规定时承租人应退出廉租房。综上，廉租房是不能作为遗产被继承的。

但是，根据《公共租赁住房申请、审核及配租管理办法》的有关规定，承租人在租赁期限内死亡的，经复核，家庭仍符合公共租赁住房申请条件的，家庭可按规定推举新的租赁人与房屋产权单位重新签订租赁合同。家庭无共同申请人的，租赁合同自动终止。

因此，按照你的描述，只要你一家三口现在仍然符合公共租赁住房的申请条件，就可推举你作为新的租赁人与相关住房保障管理部门重新签订租赁合同。