申请精神司法鉴定有以下方式：

1、家属提出申请，提供嫌疑犯曾经患病或可能患病的相关依据(包括嫌疑人既往病史、家族病史等)，再依法鉴定。

2、公安机关查获或发现嫌疑犯有精神病症状，怀疑可能患有精神病的，为了更好破案、诉讼、定罪量刑等情况，会做司法鉴定。

3、检察院怀疑嫌疑犯患有精神病的。

三、哪些情形不予逮捕

不逮捕和不予逮捕的情形有：没有证据证明有犯罪事实的；侦查机关查获的犯罪嫌疑犯罪的证据达不到认定犯罪；证据之间不能相互印证；犯罪嫌疑人没有犯罪事实的；证据不能判处犯罪嫌疑人徒刑以上刑罚的；可能判处犯罪嫌疑人徒刑以上刑罚，但采取取保候审、监视居住方法，足以防止发生社会危险性，没有逮捕必要的。