曝光小偷身份不会侵犯其名誉权。对于小偷身份的曝光，既不是侮辱，也不是诽谤，而是对于客观事实的陈述，小偷的社会评价降低是由于其自身的身份而非信息曝光的行为导致的。虽然对于小偷来说，他肯定不希望别人知道他的身份，但对公众来说知晓其身份是维护社会秩序和社会道德的一部分。在法律所保护的利益衡量上，法律更倾向于保护公众的知情权。该行为不构成对小偷的名誉权侵权。

公布小偷照片是否侵犯其肖像权？

公布小偷的照片没有侵犯其肖像权。侵犯肖像权是指不经过他人允许就使用他人肖像甚至用于谋取不法收入的行为，公布小偷的肖像并没有取得当事人的同意，但是公布其照片是出于阻却违法行为的事由，是不属于对其肖像权的侵犯。

《中华人民共和国民法典》第一千零二十四条民事主体享有名誉权。任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。