不可以。如果劳动者已经在用人单位上班了，自上班之日起一个月内应签订相应的劳动合同，社会保险和住房公积金也一并开始缴纳。如果超过一月未与劳动者签订合同，那么工资应该以两倍计算。超过一年未签订合同，则视为劳动者与用工单位签订无固定期限劳动合同。

公司不签合同公司能做出工伤认定吗

公司不签劳动合同，可以参照下列凭证认定用人单位与劳动者存在劳动关系，申请工伤认定和劳动能力鉴定：用人单位向劳动者发放的能够证明身份的证件；劳动者填写的用人单位招用记录；工资支付凭证或记录、缴纳各项社会保险费的记录；考勤记录；其他劳动者的证言等。

《劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。（二）已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”

《社会保险法》第五十八条：“用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费”。