对于违反法律规定，擅自使用私人车辆运输烟花爆竹的行为，应当被视为严重违法行为，由当地的安全生产监督管理部门依法进行严肃处理。具体的处罚措施包括：

首先，应立即责令当事人停止其非法的生产和经营活动；

其次，对当事人处以2万元以上但不超过10万元人民币的罚款，并且在处罚过程中将没收违法生产和经营的全部物品以及违法所得。

《道路运输条例》第六十三条

违反本条例的规定，未取得道路运输经营许可，擅自从事道路运输经营的，由县级以上道路运输管理机构责令停止经营；有违法所得的，没收违法所得，处违法所得2倍以上10倍以下的罚款；没有违法所得或者违法所得不足2万元的，处3万元以上10万元以下的罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。