在婚姻关系解除之后，倘若非直接抚养子女一方未承担相应的抚养费用，那么，直接负责养育孩子的一方有权通过法律途径向当地司法机关提出申诉，以寻求解决方案。具体申诉流程如下所述：

首先，必须要全面搜集与抚养费问题紧密关联的各项证据资料，如抚养费协议、历史法庭裁决文件以及对方个人收入证明等；

其次，应当据此撰写一份严谨且详细的起诉状，其中应列举出原告与被告详细信息；

同时明确列出诉讼请求及其依从的事实与依据，便于后续法庭审理；

再者，携带上述证明文件前往具有权限的法院进行立案申请，在收到诉状及相关附件之后，法院将予以受理并收取讼诉金额作为预缴费用；

最后，等候开庭，若经法院教育、告诫乃至督促后，对方仍然未能切实履行支付抚养费义务的情况下，可向法院提出强制执行申请，要求其立即支付相应子女抚养费用。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条

离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。

前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。