在离婚案件中，若其中一方未能履行对子女赡养的法定义务——即支付抚养费用，那么这种行为将会触发法律责任。

我们知道，负有支付抚养费义务的并不是仅限于亲自抚养子女的那一方，而未直接承担抚养责任的另一方亦同样负有此社会公德和法律上的义务。

如若他们拒绝支付，那么亲自抚养子女的一方有权通过向法院提出诉讼来维护自身权益，要求对方履行支付抚养费用的职责。

而这种行为不仅仅是违背了基本人伦道德和家庭伦理的规范，更是严重违反了相关法律规定。

通常，法院会根据实际情形进行公平、公正的审判，决定应由哪一方承担起支付抚养费用的职责。

如果涉诉一方仍旧拒绝履行支付义务，那么他或她有可能将面临法庭强制执行的风险，包括冻结其个人财产、从其薪资中扣除相应款项等等。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条

离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。

前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。