在民事审判过程中，若人民法院察觉到借款人可能存在规避或阻止司法裁判执行的可能性，以及此种行为可能对债权人带来进一步的损害，依据债权人的申请，有权裁决将其资产予以冻结。

此类冻结措施包含了对借款人存款的冻结在内。

对于债权人未提出相关申请的情况下，如果法院认为有必要采取相应的保全措施，也是拥有这种权力的。

因此，当债权人向法院提起诉讼，请求借款人履行债务时，法院在审理过程中，如认为有必要防止借款人通过转移资产等方式来逃避债务，根据现行法律规定，是有权对借款人的存款实施冻结的。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百零三条

人民法院对于可能因当事人一方的行为或者其他原因，使判决难以执行或者造成当事人其他损害的案件，根据对方当事人的申请，可以裁定对其财产进行保全、责令其作出一定行为或者禁止其作出一定行为；当事人没有提出申请的，人民法院在必要时也可以裁定采取保全措施。

人民法院采取保全措施，可以责令申请人提供担保，申请人不提供担保的，裁定驳回申请。

人民法院接受申请后，对情况紧急的，必须在四十八小时内作出裁定；裁定采取保全措施的，应当立即开始执行。