对于自己年老的父母，没有或丧失了劳动能力，或者生活不能自理，因而无法独立生活的，作为子女负有扶养义务，有能力扶养却不扶养，致使父母因遗弃被迫自杀的、因生活无着而流落失所的等等，就构成犯罪，要根据相关法律的规定，以遗弃罪，追究其刑事责任。

拒不赡养老人后果严重的可能构成什么罪

拒不赡养老人后果严重的可能构成遗弃罪。当子女不履行赡养义务时，无劳动能力或生活困难的父母有权要求子女支付赡养费。子女对父母的支持是指成年子女在物质和经济上为父母提供必要的生活条件，是指成年子女在精神和生活中对父母的关心、帮助和照顾。赡养扶助的义务主体一般是成年子女。子女对父母履行赡养义务，是法律规定的子女必须履行的法律义务，也是每个成年人对家庭和社会的责任。

《刑法》第二百六十一条，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。