诽谤公安机关应当承担刑事责任。《中华人民共和国刑法》规定，以暴力或者其他方式公开侮辱、捏造事实诽谤他人的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。除严重危害社会秩序和国家利益外。通过信息网络实施，受害人告诉人民法院，但提供证据确实困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。

诽谤罪应当如何处罚

根据《刑法》第246条，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。

诽谤罪的表现形式：主要是指多次捏造事实诽谤他人的；捏造事实造成他人人格、名誉严重损害的；捏造事实诽谤他人造成恶劣影响的，发帖人主观上必须是故意，即明知自己帖子里发布的内容是足以损害他人名誉的虚假事实，明知自己的行为会发生损害他人名誉的危害结果，并且希望这种结果的发生。

《中华人民共和国刑法》第二百四十六条以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。

前款罪，告诉的才处理，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外。

通过信息网络实施第一款规定的行为，被害人向人民法院告诉，但提供证据确有困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。