原被告双方举证期限均为一个月，但是在举证期限快届满时，被告申请了延期举证一个月，而原告没有申请，因此在原告举证期限届满后，被在某案件中，告仍在举证期限内。在这种情况下，原告想要增加诉讼请求，根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第三十四条规定，当事人增加、变更诉讼请求或者提起反诉的，应当在举证期限届满前提出。

针对这个问题，最高人民法院为了保护双方当事人的权益，于2008年12月11日发布并实施了《最高人民法院关于适用关于民事诉讼证据的若干规定中有关举证时限规定》，该规定第六条规定，关于当事人申请延长举证期限的问题。当事人申请延长举证期限经人民法院准许的，为平等保护双方当事人的诉讼权利，延长的举证期限适用于其他当事人。

因此根据上述问题，如果被告申请延期举证，那么即使原告没有申请延期举证，同样也适用于原告，那么原告可以在被告延期后的举证期限内实施所有可以行使的权利。

所以案件当事人不论原告还是被告双方都有权利申请延期举证，并且有一方申请延期举证之后另一方自动享有该权利，这也是我国法律对双方当事人的权益的保护。由此可见被告可以申请延期举证，只要按照规定在举证期限内提交延期举证申请书即可。

一、民事诉讼一审提交新证据的程序是什么

1、原告起诉时应提供有效的证据。证据有以下七种：

(1)书证；

(2)物证；

(3)视听资料；

(4)证人证言；

(5)当事人向法院所作的陈述；

(6)鉴定结论；

(7)勘验笔录。

证据必须证明证据的来源，证人的姓名和住址；书证应提交原件，物证应当提交原物；提交原件或原物确有困难的，可以提交复制品、照片、副本、节录本，但需经法院与原件核对无异后加以注明；提交外文书证，必须附有中文译本；提交视听资料必须真实。

2、当事人应当在人民法院指定的举证期限内向人民法院提交证据材料，当事人在举证期限内不提交的，视为放弃举证权利。

对于当事人逾期提交的证据材料，人民法院审理时不组织质证，但对方当事人同意质证的除外。

当事人增加、变更诉讼请求或者提出反诉的，应当在举证期限届满前提出。

当事人在举证期限内提交证据材料确有困难的，应当在举证期限内向人民法院申请延期举证，经人民法院准许，可以适当延长举证期限。当事人在延长的举证期限内提交证据材料仍有困难的，可以再次提出延期申请，是否准许由人民法院决定。

当事人对自己提出的诉讼请求所依据的事实或者反驳对方诉讼请求所依据的事实有责任提供证据加以证明。没有证据或者证据不足以证明当事人的事实主张的，由负有举证责任的当事人承担不利后果。

3、当事人及其诉讼代理人可以根据最高人民法院《关于民事诉讼证据的若干规定》第十七条的规定，申请人民法院调查收集证据。是否准许，由人民法院决定。

当事人及其诉讼代理人申请人民法院调查收集证据，应当提交书面申请。申请书应当载明被调查人的姓名或者单位名称、住所地等基本情况、所要调查收集证据的原因及其要证明的事实。

当事人及其诉讼代理人申请人民法院调查收集证据，不得迟于举证期限届满前七日。

4、当事人申请证人出庭作证，应当举证期限届满十日前提出，并经人民法院许可。

5、经当事人申请，人民法院可以组织当事人在开庭审理前交换证据确凿。

交换证据的时间可以由当事人协商一致并经人民法院认可，也可以由人民法院指定。人民法院组织当事人交换证据的，交换证据之日举证期限届满。当事人申请延期举证并经人民法院准许的，证据交换日相应顺延。

6、当事人在一审程序中提供新的证据的，应当在一审开庭前或者开庭审理时提出。

当事人在举证期限届满后提供的证据不属于正电子高人民法院《关于民事诉讼证据的若干规定》第四十一条规定的“新的证据”的范围的，人民法院不予采纳。