依据我国相关法律的规定，公安机关应当自收到人民法院执行通知书、判决书之日起一个月内将该罪犯送交监狱执行刑罚。

《中华人民共和国监狱法》

第十五条人民法院对被判处死刑缓期二年执行、无期徒刑、有期徒刑的罪犯，应当将执行通知书、判决书送达羁押该罪犯的公安机关，公安机关应当自收到执行通知书、判决书之日起一个月内将该罪犯送交监狱执行刑罚。

罪犯在被交付执行刑罚前，剩余刑期在三个月以下的，由看守所代为执行。

收监具体程序

监狱收押罪犯必须遵守一定的工作规程。按照我国监狱法的规定,监狱收押罪犯的程序是:

①审查送押罪犯的法律文书。即审查人民法院的刑事判决书是否已发生法律效力,人民检察院的起诉书副本、人民法院的判决书、执行通知书、结案登记表是否齐备,记载是否有误。

②对送押罪犯进行身体检查。即检查罪犯是否患有严重疾病,女犯是否正怀孕或哺乳自己的婴儿等。

③人身和物品检查。如发现违禁品或赃物,应当予以没收,送请人民法院处理;如果发现可供侦查、审判的材料,应及时送交主管的侦查、审判机关。

④对收监的罪犯填写《罪犯入监登记表》。

⑤向罪犯家属发出通知书。罪犯入监后,监狱应当及时通知其家属,须在收监后5日内发出通知书。对无家属的罪犯,监狱可通知其所在单位、基层组织或原居住地的公安派出所。

羁押罪犯的公安机关在收到人民法院对被判处死刑缓期两年执行、无期徒刑、有期徒刑罪犯的执行通知书、判决书之日起一个月内应当将罪犯送交监狱执行刑罚。人民法院在将罪犯交付监狱执行刑罚时，应当同时送达必备的法律文书，包括人民检察院的起诉书副本，人民法院的判决书、执行通知书和结案登记表。监狱在罪犯被交付执行时，如果没有收到上述法律文书，不得收监。上述文件不齐全或者记载有误的，作出生效判决的人民法院应当及时补充或者作出更正;对其中可能导致错误收监的，不予收监。