轻微刑事案件逃跑的会予以行政拘留的处罚。轻微伤因为伤害程度没有那么严重，因此即使是故意打人造成了轻微伤的也不属于刑事案件，自然行为人就不会需要承担刑事方面的责任，因此一般不认为是犯罪行为，只需要承担行政责任和民事赔偿，所以轻微伤一般最好是赔偿解决。要是对方不愿意赔偿，可以要求公安机关进行调解，如果调解成功双方达成协议是可以不追究其行政责任。

哪些算轻微刑事案件

轻微刑事案件一般是指犯罪事实、情节较为轻微，可能判处3年以下有期徒刑以及拘役、管制等较轻刑罚的案件。应当注意的是，这类案件强调被害人的举证责任，自诉能否成立在一定程度上取决于被害人等有无证据或者证据是否充分，如果被害人等没有证据的，人民法院将不予受理。

《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十六条有下列行为之一的，处5日以上10日以下的拘留，可以并处500元以下罚款；情节较重的，处10日以上15日以下拘留，可以并处1000元以下罚款：

（一）结伙斗殴的；

（二）追逐、拦截他人的；

（三）强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物的；

（四）其他寻衅滋事行为。