因醉驾被判处一个月拘役的，是会留下案底的，即使拘役处罚较轻，但也证明是构成犯罪了。醉驾如果被拘役是会有案底的，因为拘役属于刑罚的一种，只有当公安机关在已经立案且法院判决的情况下才可能采用拘役的刑罚措施，所以从理论上来讲，醉驾被拘役一个月会有案底的。

拘役一个月醉驾是否还会留有案底存在的法律依据

《刑法》第一百三十三条之一

在道路上驾驶机动车，有下列情形之一的，处拘役，并处罚金：

（一）追逐竞驶，情节恶劣的；

（二）醉酒驾驶机动车的；

（三）从事校车业务或者旅客运输，严重超过额定乘员载客，或者严重超过规定时速行驶的；

（四）违反危险化学品安全管理规定运输危险化学品，危及公共安全的。

机动车所有人、管理人对前款第三项、第四项行为负有直接责任的，依照前款的规定处罚。

有前两款行为，同时构成其他犯罪的，依照处罚较重的规定定罪处罚。

《中华人民共和国刑法》（2020修正）：第二编　分则 第二章　危害公共安全罪　　　　第一百三十三条　违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。