肇事司机全责，不肯垫付医药费的处理方式如下：

1、发生交通事故，如全责一方出现不垫付医药费的情况，受害者可以先行治疗，同时把治疗的各种单据留存，因遭受人身损害就医治疗支出的各项费用以及因误工减少的收入，包括医疗费、误工费、护理费、交通费，赔偿义务人应当予以赔偿；

2、治疗后双方协商赔偿，协商不成的，可以到人民法院进行起诉，人民法院依法判决赔偿。

一、构成交通肇事逃逸的认定如下：

1、明知发生交通事故，交通事故当事人驾车或弃车逃离事故现场的；

2、交通事故当事人认为对事故没有责任，驾车驶离事故现场的；

3、交通事故当事人虽将伤者送到医院，但未报案且无故离开医院。

二、肇事逃逸处罚的标准如下：

1、尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款；

2、构成交通肇事罪的，处三年以上七年以下有期徒刑；

3、肇事逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

综上所述，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

一、什么算交通肇事逃逸

法律上规定，交通肇事逃逸，是指发生交通事故后，交通事故当事人为逃避法律追究，驾驶车辆或者遗弃车辆逃离交通事故现场的行为。构成条件主要有：

1、肇事人知道自己造成了交通事故；

2、主观上是为了逃避事故责任，逃避法律的追究；

3、客观上实施了逃离事故现场，不向公安机关报案的行为。

《中华人民共和国刑法》第一百三十三条规定，违反道路交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。