醉酒驾驶机动车当场被抓获，但是公安机关没有立即作出拘留决定，之后仍然可以处以刑事拘留。因为这时候行为人已经违反了我国刑法的规定，属于违法犯罪行为。根据刑事诉讼法第九十一条的规定，对于符合条件的犯罪嫌疑人，司法机关可以予以刑事拘留。换句话说，醉驾当时没有拘留，以后还可以拘留。而且被认定为醉驾的行为人，还需要承担相应的刑事责任。具体来说，行为人需要接受一个月以上、六个月以下的拘役。需要注意的是，被处以刑事拘留的话，公安机关应当在拘留后的24小时之内，通知行为人的家属。

一、多久给刑事拘留通知书

刑事拘留后应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。

公安机关会以《刑事拘留通知书》的形式，告知某某被刑事拘留。

刑事拘留通知书是公安机关依照《刑事诉讼法》的相关规定，转交涉案当事人家属的正式司法文件，它是以公安局的名义发出的正规文件，说明涉案当事人已经被采取了“刑事拘留”的强制措施。

二、公安机关刑事拘留期限怎么算

公安机关刑事拘留期限，从犯罪嫌疑人被采取强制措施之日起算，刑事拘留的期限不超过37天。《刑事诉讼法》第九十一条规定：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。由此可知，刑事拘留的时间不得超过37天。公安机关拘留犯罪嫌疑人，应当填写呈请拘留报告书，经县级以上公安机关负责人批准，制作拘留证。执行拘留时，必须出示拘留证。紧急情况下，应当将犯罪嫌疑人带至公安机关后立即审查，办理法律手续。拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。