第一，如果双方在变更抚养权的时候，已经经过法院判决，或者双方已经签订变更协议，那么对方就无权随便放弃孩子的抚养权。因为，无论是法院的判决或者双方签订的变更协议，对双方都有约束力，双方都必须遵守和履行。如果对方随便就想放弃抚养权，那么其行为可能构成犯罪，遗弃罪。根据《刑法》第二百六十条规定对未成年人、老年人、患病的人、残疾人等负有监护、看护职责的人虐待被监护、看护的人，情节恶劣的，处三年以下有期徒刑或者拘役。第二，如果双方在变更抚养权的时候，只是双方口头约定，没有经过司法程序或者签订协议。那么原则上，孩子的抚养权依然归属于提问者，双方所谓的变更，只是一种私人行为，不受法律保护。提问者应该履行孩子的抚养义务。
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自愿放弃子女抚养权有效。放弃抚养权的协议有效;离婚后双方协商变更抚养关系，可签订相应的协议，由直接抚养孩子一方放弃对孩子的直接抚养权利，协议签订后由法院确认效力，或者一方要求变更子女抚养权。
自愿放弃监护权，仍需承担监护义务。离婚后，子女无论被直接抚养还是父母双方抚养。仍有抚养、教育和保护子女权利和义务。父母与子女关系不因离婚而消除。
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