房屋属于共同财产，婆婆把房子卖了作为首付，不会认为是婆婆无偿赠与的，是你们的夫妻共同债务。 对两周岁以上未成年的子女，父方和母方均要求随其生活，一方有下列情形之一的，可予优先考虑： （１）已做绝育手术或因其他原因丧失生育能力的； （２）子女随其生活时间较长，改变生活环境对子女健康成长明显不利的； （３）无其他子女，而另一方有其他子女的；（４）子女随其生活，对子女成长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的。 父方与母方抚养子女的条件基本相同，双方均要求子女与其共同生活，但子女单独随祖父母或外祖父母共同生活多年，且祖父母或外祖父母要求并且有能力帮助子女照顾孙子女或外孙子女的，可作为子女随父或母生活的优先条件予以考虑。
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婆婆付的首付房子如果是在夫妻在婚姻关系存续期间继承的房产，若是没有指明归一方所有，则为夫妻共同财产，归夫妻共同所有。如果有指明归一方的属于个人财产。但是共同负担贷款部分和房子升值的部分是共同所有的。
婚后婆家付的首付房子为双方所有。但是，如果明确指出是对自己的子女赠与的，则会认定为夫妻一方的个人财产。因此，双方离婚时，这部分财产将不能分割。
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