驾驶人应当尽快到公安机关自首，并承担相应责任，否则驾驶人因为交通肇事逃逸将终身禁止考取驾驶证，且被抓后将被处以三年以上七年以下有期徒刑。根据《刑法》第六十七条【自首】犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯，如实供述司法机关还未掌握的本人其他罪行的，以自首论。犯罪嫌疑人虽不具有前两款规定的自首情节，但是如实供述自己罪行的，可以从轻处罚；因其如实供述自己罪行，避免特别严重后果发生的，可以减轻处罚。第一百三十三条【交通肇事罪；危险驾驶罪】违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
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驾驶人员肇事逃逸会受到以下处罚： 一、由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款；可以并处十五日以下拘留。 二、如果逃逸人负事故主要或者全部责任，且事故导致一人以上重伤的，则会构成交通肇事罪，逃逸人会被处三年以上七年以下有期徒刑；如果因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
醉驾肇事逃逸没伤亡的处罚如下：尚不构成犯罪的一次扣12分，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款。 情节严重的，违反道路交通安全法律、法规的规定，发生重大交通事故，构成犯罪的，依法追究刑事责任，并由公安机关吊销驾照。
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