对方重婚申请离婚损害赔偿，首先要明确什么叫重婚：（1）法律重婚：指前婚未解除，又与他人办理结婚登记。在实行单一登记婚的中国，只要双方办理了结婚登记，不论是否同居，重婚即已构成。（2）事实重婚：指前婚未解除，又与他人以夫妻名义共同生活，但未办理结婚登记手续。只要双方公开以夫妻名义共同生活，虽未办理结婚登记，也已构成重婚。有以下情形之一的，应视为以夫妻名义共同生活：①有配偶的人与他人举行结婚仪式的；②有配偶的人虽未与他人举行结婚仪式，但以夫妻相称或者对外以夫妻自居的。以夫妻相称，除当事人间承认、日常生活间的称呼外，当事人同居生活，女方生病时男方以丈夫的名义签名、陪侍，女方生育孩子男方以父亲的名义在医院签字，当事人以父母的名义为子女庆祝满月等，也可以作为认定以夫妻相称的辅助证据。认定重婚，通常还需要取得周围群众、当事人亲朋戚友的证言，以证明周围群众认为当事人是夫妻
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离婚损害赔偿申请是由无过错的一方，在离婚诉讼时或离婚后一年内向人民法院提起，在婚姻关系存续期间，当事人单独提起损害赔偿请求的，人民法院不予受理。 根据2021年实施的《民法典》第一千零九十一条的规定，有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿： （一）重婚； （二）与他人同居； （三）实施家庭暴力； （四）虐待、遗弃家庭成员； （五）有其他重大过错。
申请离婚损害赔偿的，需要在离婚时一并提出，如果是协议离婚的可以直接在离婚协议中写明；如果是诉讼离婚的，可以在起诉离婚时作为诉讼请求一并提出。注意如果是诉讼离婚，要求赔偿的一方作为原告的，则损害赔偿的请求必须在离婚时提出，如离婚时未提起，离婚后不能再单独就损害赔偿提起请求。
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