如果死亡人立下了遗嘱，并且明确说明私生子有权继承财产，那么私生子则可以依据遗嘱的内容继承相应的财产，任何人无权剥夺。如果死亡人未立遗嘱，那么按照法定的继承方式，由于私生子属于第一顺位继承人，所以其有权跟死亡人的配偶、父母和婚生子女一起继承财产，任何人不得剥夺其继承权。总之，私生子的继承权是无可争议的，是法定的，任何人无权剥夺。不能仅仅因为其私生子的身份就否定其继承权。
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第三者的子女是能继承财产的。根据相关法律规定，父母死亡后，其子女是可以依法继承其遗产的，且子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
小第三者生育的子女继承遗产的方式如下：如果有遗赠扶养协议的，遗赠扶养协议优先；没有协议的，看是否有遗嘱，有遗嘱的按照遗嘱继承；既没有协议，也没有遗嘱的，就按照法定继承。子女属于第一顺序继承人，非婚生子女与婚生子女有享有同样的权利义务。
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