跟着奶奶的孩子可以争抚养权。父母双方都有抚养和教育孩子的义务，都有权利争取孩子的抚养权，不会因为离婚等原因而消除。一般两周岁以下的孩子，由母亲抚养，两周岁以上的孩子，以更有利于孩子身心健康成长为前提根据双方抚养能力和抚养条件判定抚养权归属。

孩子的监护人能填奶奶或爷爷吗

在父母健全并且有监护能力时应该填写父母的名字，如果父母不在了或者不具备监护能力的情况下可以填有亲属关系的爷爷奶奶。

监护是对未成年人和成年精神病人设定专人保护其利益，监督其行为，并且管理其财产的法律制度。法定监护是由法律直接规定监护人范围和顺序的监护，一般可以由一人或多人担任。

《民法典》（自2021年1月1日起施行）第二十七条规定：父母是未成年子女的监护人。父母对子女享有亲权，是当然的第一顺位监护人。那么监护人必须是父母吗？当然不是。孩子的监护人能填奶奶或爷爷吗？可以。

当未成年人的父母死亡或没有监护能力时，依次由祖父母和外祖父母、兄姐、关系密切的亲属或朋友、父母单位和未成年人住所地的居委会或村委会、民政部门担任监护人。如果被监护人是成年精神病人，其法定监护人的范围和顺序是：配偶、父母、成年子女、其他近亲属、关系密切的亲属或朋友、精神病人所在单位或住所地的居委会、村委会、民政部门。

法定监护人的顺序有顺序在前者优先于在后者担任监护人的效力。但法定顺序可以依监护人的协议而改变，前一顺序监护人无监护能力或对被监护人明显不利的，人民法院有权从后一顺序中择优确定监护人。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。